Student se seznámí se základy funkcionální analýzy: normovanými a Hilbertovými prostory, normami operátorů a jejich spektry.

Students will learn the basics of functional analysis: normed and Hilbert spaces, norms of operators and their spectra.

Z: J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy,Univerzita Karlova v Praze, Nakladatelství Karolinum, 2002,ISBN 80-7184-597-3

R: A. E. Taylor: Introduction to Functional Analysis, 2nd ed. Wiley New York, 1980, ISBN-13: 978-0471846468.

Přednášky a cvičení.

Lectures and exercise classes.

1. Matematický popis klasické mechaniky a popis kvantové mechaniky.

2. Normované lineární prostory. Úplnost. Banachovy prostory.

3. Prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory.

4. Příklady. Prostory C(K), prostory c a l.

5. Sčítání řad, míra a integrál, Lebesgueova míra a integrál. L - prostory.

6. Ortonormální báze Hilbertova prostoru. Fourierův rozvoj. Besselova nerovnost.

7. Lineární operátory, jejich norma. Duální prostor.

8. Lineární formy na Hilbertově prostoru. Příklady duálních prostorů.

9. Hahn-Banachova věta a její důsledky.

10. Kanonické vnoření, reflexivní prostory a ortogonální projekce.

11. Spektrum omezeného lineárního operátoru. Bodové spektrum.

12. Kompaktní operátory a jejich spektra.

13. Banachovy algebry.

14. Spektrální teorie v Hilbertových prostorech.

1. Mathematical formulation of classical mechanics and quantum mechanics.

2. Normed linear spaces. Complete spaces. Banach spaces.

3. Spaces with scalar product. Hilbert spaces.

4. Examples. Spaces C(K), spaces c and l.

5. Summation of series, measure and integral, Lebesgue measure and integral. L-spaces.

6. Orthonormal bases of the Hilbert spaces. Fourier series expansion. Bessel inequality.

7. Linear operators and their norms. Dual spaces.

8. Linear forms on Hilbert spaces. Examples of dual spaces.

9. Hahn-Banach theorem and its corollaries.

10. Canonical embeddings, reflexive spaces and orthogonal projections.

11. Spectra of bounded linear operators. Point spectrum.

12. Compact operators and their spectra.

13. Banach algebras.

14. Spectral theory in Hilbert spaces.

http://www.vscht.cz/mat/Ostatni/MIII9-12k.pdf

http://www.vscht.cz/mat/Ostatni/MIII9-12k.pdf

http://www1.maths.leeds.ac.uk/~kisilv/courses/math3263m.html

http://www1.maths.leeds.ac.uk/~kisilv/courses/math3263m.pdf

Matematika I, Matematika II

Mathematics I, Mathematics II