Student získá přehled o metodikách analýzy modelů popisujících dynamické chování systémů se zvláštním zřetelem na dynamiku chemických systémů, ať už probíhají v reaktorech nebo jsou součástí živých organismů.

Je podán výklad vlastností obecných nelineárních systému popsaných diferenciálními-diferenčními rovnicemi a příčiny nelinearit v chemických systémech jako důsledku interakce pozitivní a negativní zpětné vazby.

Dynamické režimy v chemických systémech vznikají v důsledku bifurkací, tj. změn v chodu systému při změně kontrolních parametrů, které jsou v předmětu systematicky popsány.

Setrvalá dynamika je představována oscilacemi, které mohou být periodické, kvaziperiodické anebo chaotické. Předmět naučí studenta základy analýzy časových řad se zaměřením na charakteristiky složitosti oscilací jako jsou fraktální dimenze, Ljapunovovy exponenty a K-entropie.

V závěru jsou uvedeny příklady použití analýzy na konkrétní chemické systémy a také jsou uvedeny základy popisu nelineární dynamiky v prostorově distribuovaných systémech, zejména reakčně-transportních, včetně spontánní tvorby časoprostorových struktur.

Student acquires an overview on methods of model analysis describing dynamical behavior of general systems with special attention to chemical systems, taking place in reactors as well as in living organisms.

An explanation is provided on properties of general nonlinear systems described by differential/difference equations, and on occurrence of nonlinear effects in chemical systems as a consequence of coupling between negative and positive feedback.

Dynamical regimes in chemical systems emerge via bifurcations(i.e., changes in the course of the system as control parameters are varying), which are systematically described.

Sustained dynamics is represented by oscillations that may be periodic, quasiperiodic or chaotic. The course also involves time series analysis with focus on measures of chaos, such as fractal dimension,Lyapunov exponens and Kolmogorov entropy.

At the end, specific chemical systems are taken to show how the outlined methods are applied. These examples include also spatially distributed systems, in particular, spontaneous pattern formation in reaction-transport systems.

Marek M., Schreiber I.: Chaotic Behaviour of Deterministic Dissipative Systems, Cambridge Univ. Press (1995),

Holodniok M, Klíč A., Kubíček M., Marek M.: Metody analýzy nelineárních dynamických modelů, Academia (1986),

Murray J. D., Mathematical Biology, Springer, 1989 (1st ed.), 2002 (3rd ed.)

Scott A., The Nonlinear Universe, Springer (2007).

Marek M., Schreiber I.: Chaotic Behaviour of Deterministic Dissipative Systems, Cambridge Univ. Press (1995),

Holodniok M, Klíč A., Kubíček M., Marek M.: Metody analýzy nelineárních dynamických modelů, Academia (1986),

Murray J. D., Mathematical Biology, Springer, 1989 (1st ed.), 2002 (3rd ed.)

Scott A., The Nonlinear Universe, Springer (2007).

1. Definice dynamického systému, systémy se spojitým a diskrétním časem, disipativní systémy, Liouvilleova věta.

2. Příklady systémů chemického, hydrodynamického a biologického typu vykazující složité dynamické chování.

3. Fázový-stavový prostor, trajektorie, asymptotická dynamika, invariantní množina, stabilita, atraktory, repelory a sedla, chaotický atraktor.

4. Stabilita ustálených stavů, Jacobiho matice, vlastní čísla/vektory, stabilní, nestabilní a neutrální invariantní vlastní podprostor/varieta.

5. Stabilita periodických trajektorií, matice monodromie, multiplikátory, invariantní podprostory/variety, homoklinické a heteroklinické orbity.

6. Strukturální stabilita. Základy bifurkační teorie, klasifikace bifurkací, posloupnosti bifurkací vedoucí k chaotické dynamice.

7. Charakterizace složité dynamiky (kvaziperiodicita, chaos), míry prostorové a časové složitosti, fraktální dimenze, Ljapunovovy exponenty, Kolmogorova entropie, klasifikace složitých atraktorů.

8. Určení charakteristik složitosti dynamiky z (experimentálních) časových řad. Rekonstrukce stavového prostoru, vyhlazení dat, aplikace analýzy základních komponent (singulární dekompozice). Výkonová spektra. Zadání projektu.

9. Numerické postupy k určení závislosti stacionárních bodů nebo periodických trajektorií na parametru - kontinuace a detekce bifurkací.

10.Základy analýzy stability stechiometrických sítí, identifikace pozitivních a negativních zpětných vazeb ve složitých reakčních mechanismech, podmínky vzniku nestabilit.

11.Příklady použití nelineární analýzy v chemických systémech, reakce Bělousova-Žabotinského, enzymové oscilace, biologické rytmy.

12.Prostorově distribuované systémy, složitá dynamika v reakčně-transportních a hydrodynamických systémech. Spontánní vznik prostorově nehomogenních struktur, Turingova bifurkace.

13.Klasifikace prostorových a časoprostorových struktur, aplikace v biologii, teorie morfogeneze a diferencovaný růst organismů.

14.Prezentace řešení projektu.

1. Definition of dynamical system, systems with continuous and discrete time, dissipative systems, Liouville theorem.

2. Examples of systems of chemical, hydrodynamic and biological type displaying complex dynamics.

3. Phase/state space, trajectories, asymptotic dynamics, invariant set, stability, attractors, repellors and saddles, chaotic attractor.

4. Stability of steady states, Jacobi matrix, eigenvalues/eigenvectors, stable, unstable and neutral invariant eigenspace/manifold.

5. Stability of periodic trajectories, monodromy matrix, multipliers, invariant subspaces/manifolds, homoclinic and heteroclinic orbits.

6. Structural stability. Elements of bifurcation theory, classification of bifurcations, bifurcation sequences leading to chaotic dynamics.

7. Characterization of complex dynamics (quasiperiodicity, chaos), measures of spatial and temporal complexity, fractal dimension, Ljapunov exponents, Kolmogorov entropy, classification of complex attractors.

8. Determination of measures of complex dynamics from (experimental) time series. Reconstructions of state space, data smoothing, principal component analysis. Power spectra. Specification of a student project.

9. Numerical methods for dependence of steady states or periodic orbits on a parameter - continuation and detection of bifurcations.

10. Elements of stoichiometric network analysis, identification of positive and negative feedback in complex reaction mechanisms, conditions of appearance of instabilities.

11. Applications of nonlinear analysis to (bio)chemical systems, Belousov-Zhabotinsky reaction, enzyme oscillations, biological rhythms.

12. Spatially distributed systems, complex dynamics in reaction-transport and hydrodynamic systems. Spontaneous emergence of spatial patterns, Turing bifurcation.

13. Classification of spatial and spatiotemporal patterns, applications in biology, theory of morphogenesis and differentiated growth of organisms.

14.Presentation of the solved project.

nejsou

none

Matematika I, II a případně též Metody analýzy nelineárních dynamických modelů

Matematics I, II and, alternatively, Methods of analysis of nonlinear dynamical models